La poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est une loi physique qui décrit la force dirigée vers le haut (la poussée verticale) que subit tout corps plongé dans un fluide (un liquide ou un gaz), pour peu que ce corps soit soumis à la force de la gravité (qui l'attire quant à elle vers le bas).

C'est en effet le principe d'archimède qui explique que le poids apparent d'un corps plongé dans l'eau soit inférieur au poids réel (qui est le poids de ce corps soumis à la pression exercée sur lui par la planète Terre). En fait, ce principe a permis de théoriser la notion de masse volumique.

Cette loi nous intéresse parce que si l'on en croit la légende, elle aurait permis au mathématicien grec Archimède, en 265 av. J.-C., de vérifier que la couronne du roi de Syracuse Hiéron II était bien en or pur : car le roi soupçonnait l'orfèvre auquel il avait commandé la couronne d'être un faussaire et souhaitait le confondre en prouvant que la couronne avait été faite dans un alliage d'or et d'argent et non en or pur. Il aurait ainsi demandé au mathématicien de vérifier cela sans détériorer l'objet.

Le problème résolu par Archimède

Le problème à résoudre

Pour comprendre en quoi consiste la poussée d'Archimède, il faut avant tout comprendre le problème dont le roi Hiéron II a confié la résolution au mathématicien : il s'agissait donc de vérifier si sa couronne était en or pur, en respectant deux contraintes : d'une part, procéder à cette vérification sans endommager l'objet, et d'autre part, obtenir une vérification extrêmement précise, afin d'être à même de déterminer si un autre métal a été utilisé, même en faible quantité.

Les solutions écartées

Archimède ne peut donc pas se livrer au test pragmatique qui nous vient immédiatement à l'esprit, c'est-à-dire vérifier si le métal utilisé est un alliage en le faisant fondre. Il doit imaginer une autre approche.

Peser la couronne à l'aide d'une balance, et comparer ce poids avec la quantité d'or qui a servi à sa fabrication est vain. Certes, la couronne et l'or donnés à l'orfèvre ont bien le même poids, mais rien ne prouve qu'une partie de l'or n'a pas été remplacée par un autre métal, dans des proportions permettant l'obtention d'un poids équivalent. Ce qu'il doit déterminer c'est la quantité d'or véritablement utilisée, et contrairement aux apparences, comparer le poids de la couronne avec celui de l'or qui a été confié à l'orfèvre pour la réaliser n'apporte pas une preuve irréfutable de ce que tout l'or a bien été utilisé dans la confection de ladite couronne. En effet, comparer un kilo d'or et un kilo d'un alliage ne prouverait en effet qu'une seule hypothèse, contenue dans l'énoncé : leur poids est égal. Pour que la preuve soit irréfutable, il faut que le volume occupé par le kilo d'or pur, et le volume occupé par le kilo de l'objet comparé soient égaux.

Archimède ne peut pas comparer le volume qu'occupe la couronne, et réunir le même volume en or pour comparer leur poids, car la couronne n'est pas un bloc de forme cubique, mais un artefact ciselé de manière complexe. Impossible de calculer avec précision le volume qu'elle occupe.

La solution du problème

La suite de ce qui n'est peut-être qu'une légende nous permet d'illustrer la solution géniale qui lui est apparue en fréquentant les bains publics. Alors qu'il entrait dans un bassin pour s'y baigner, Archimède aurait subitement, en observant l'eau déborder, conçu l'idée selon laquelle un corps pénétrant dans un fluide occasionnerait un déplacement d'eau correspondant au volume du corps immergé (c'est alors qu'il aurait quitté le bain entièrement nu en criant « Eurêka ! », c'est-à-dire « J'ai trouvé ! » en grec ancien).

Qu'est-ce que ce déplacement d'eau, que tout le monde peut vérifier empiriquement, signifie exactement ? Que l'on peut mesurer le volume exact de la couronne (souvenez-nous c'était chose impossible), simplement en mesurant le volume d'eau qui déborde d'un récipient dans lequel celle-ci serait immergée. Une fois ce volume connu, il suffit d'immerger l'or confié à l'artisan pour la création de la couronne, puis de voir si le volume d'eau qui a débordé est le même. Si les deux volumes sont égaux, la couronne est bien en or pur ; mais si les volumes d'eau diffèrent, si un volume d'eau supérieur s'écoule quand on plonge la couronne dans le récipient que quand on plonge l'or utilisé, cela signifie que le volume de la couronne est supérieur à celui du bloc d'or, et donc qu'elle a été façonnée dans un alliage.

Pourquoi cela ? C'est en fait très simple. Grossissons le trait en prenant un exemple plus parlant. Il suffit par exemple de visualiser un cube de plomb d'un kilo et un cube de polystyrène d'un kilo, pour immédiatement voir que le bloc de plomb représente un volume bien plus petit que le bloc de polystyrène. Certes le poids sera identique, mais le volume nécessaire pour atteindre ce poids sera dans les deux cas complètement différent. Tout simplement parce que la densité du plomb est largement supérieure à celle du polystyrène.

Or, ce constat fonde la notion de masse volumique, qui est simplement le rapport qu'entretiennent la masse et le volume, et dépend de la densité d'un matériau. Comme la densité de l'or est particulièrement élevée, si l'orfèvre chargé de la confection de la couronne a utilisé un autre métal, comme l'argent ou le cuivre, dont la densité est nettement inférieure, la couronne conçue dans un alliage occupera un volume supérieur à la couronne faite dans un métal pur.

Tâchons à présent de comprendre le théorème qui découle de ce constat empirique, puis de comprendre la poussée d'archimède.

Le théorème d'Archimède expliqué

La loi physique qu'Archimède a théorisé à partir du problème de la couronne s'énonce généralement avec ce théorème :« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. »

force exercée par l'eau sur un voilier
Poussée d'Archimède s'exerçant sur un voilier.

Décomposons à présent les termes de l'énoncé du théorème afin de mieux les comprendre :

Le principe de la poussée d'Archimède expliqué

Il faut imaginer un corps, un bateau par exemple, plongé dans un fluide, l'eau de mer en l'occurrence. Si ce bateau ne coule pas, jusqu'à toucher le fond de la mer, c'est parce qu'une force verticale agissant de bas en haut le maintient à la surface, et que cette force s'oppose à la force de la gravité, qui attire quant à elle le bateau vers le fond, en agissant de haut en bas. Ainsi donc, en dépit du poids du corps, qui devrait le pousser à tomber, celui-ci reste en surface : il a atteint un parfait équilibre. Cela signifie tout simplement que le poids du corps est compensé par la poussée exercée par le fluide. C'est la poussée d'Archimède.

Si l'on conduit notre réflexion un peu plus loin, on comprendra aisément que la force à l'œuvre n'appuie que sur les parois de l'objet en contact avec le fluide, c'est-à-dire sur la surface immergée. Pour reprendre l'exemple de notre navire, seule la partie de la coque enfoncée dans l'eau de mer subit l'action du fluide.

D'une façon concrète, la force s'applique perpendiculairement à la surface de l'objet : cela signifie que, quelle que soit l'orientation de la paroi, elle reçoit une pression perpendiculaire.

La formule mathématique

Ce théorème peut être exposé en une formule mathématique élémentaire, à savoir :

PA = Vdéplacé × Masse volumique du fluide × gravité


Poussée d'Archimède = Volume (déplacé, en cm3) × Masse volumique du fluide (exprimée en kg/cm3) × gravité (exprimé en newton par kg)

La poussée d'Archimède s'obtient donc en multipliant le volume de fluide déplacé par le corps, par la masse volumique de ce fluide, le tout multiplié par la gravité.